多重元模型搜索方法及其在汽车轻量化设计中的应用

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【汽车轻量化在线】多重元模型搜索方法及其在汽车轻量化设计中的应用

来源：期刊-《汽车工程学报》；作者：杨荣昆1，顾纪超2，李文琦1，申 苗1

（1.广州汽车集团股份有限公司汽车工程研究院；2.宝能汽车研究中心）

摘 要：目前广泛应用的基于元模型的优化方法通常起始于单一一组样本点，一旦样本点质量较差、其搜索效率和精度都会受到影响，甚至得不到想要的结果。提出一种多重元模型搜索方法，此方法应用两组初始样本点，拟合多个元模型。在搜索过程中，首先应用部分昂贵点构造一个重点空间，并构建二阶多项式进行搜索。为避免陷入局部最优的陷阱，同时应用构建的克里金模型搜索整个设计空间。经过多个算例的测试，此方法具有很高的搜索精度、搜索效率和稳健性。将此方法应用于某款车的轻量化设计中，经过优化，此结构减少了8.0 kg 的质量，并提升了其刚度性能求。
关键词： 多组初始点；多重元模型；耗时问题；全局最优化

不断发展的汽车工业给人们带来便利的同时，其需要的燃油和排放的废气也给石油工业和环境带来了巨大的负担。节省燃料、减少排放是汽车工业一直进行研究的重要课题。相关研究表明，汽车每减轻10%的质量，可节省燃油6%～8%[1-2]，排放降低4%[3]。因此，汽车轻量化设计成为每个企业不可或缺的重要研究内容。应用优化方法对结构进行轻量化设计是工程师进行优化设计的主要手段。相比传统的 “试错法”，优化方法通常具有更高的效率和精度。而基于元模型的全局最优化方法以其高效的特点吸引了众多学者的关注。在这种类型的方法中，很多需要调用耗时的仿真分析进行的计算被数学函数所取代，极大地提高了搜索效率。元模型也叫做近似模型或者代理模型，是一种使用计算快速的数学函数代替耗时问题进行计算的方法。在过去的很多年中，学者们开发了很多各具特点的元模型，广泛应用的有克里金（Kriging）[4-7]，二阶多项式（QF）[8]，径向基函数（RBF）[9]，多元自适应衰减样条（MARS）[10]、支持向量基（SVR）等[11]。关于元模型的详细介绍和性能分析可以见综述文献[11]～[15]。

为了得到更精确的结果，学者们开发了很多基于元模型的迭代式搜索方法。比如，著名的全局最优化法（EGO）[16]、自适应响应面法（ARSM）[17]、模式搜索采样法（MPS）[18]、混合自适应元模型法（HAM）[19]、自适应元模型全局优化法（AMGO）[20]、基于混合原模型的设计空间管理法（HMDSM）[21]、基于多个元模型的设计空间区分法（MDSD）[22]、序列响应面法[23] 和组合元模型法 [24-29]。但是，这些方法都应用一组初始样本点来拟合元模型开始搜索，而广泛采用的拉丁方设计（LHD）[30]是在随机数的基础上变化而来，随机性较强，一旦其质量较差，优化方法的搜索效率和精度都会受到影响，甚至无法得到想要的结果。

本文提出一种多重元模型优化方法并应用于汽车轻量化设计中，此方法应用两组初始样本点，拟合三组元模型，每一组都包含Kriging和二阶多项式。在搜索过程中，首先由部分原始模型计算的昂贵点构建一个重点空间，并使用二阶多项式在其中搜索。此外，为避免局部最优的陷阱，采用构造的Kriging模型同时搜索整个设计空间。多重初始样本点和多个元模型的应用，扩展了算法的应用范围，提高了算法的稳健性。

1 多重元模型搜索法（MSM）

由于构造技术的不同，使用相同的样本点，不同的元模型技术拟合的元模型会有很大差别。即使拟合技术相同，不同的样本点也会拟合出截然不同的元模型。图1 给出了采用数目相同的两组不同样本点拟合某个函数的Kriging 模型。图2 给出了使用相同样本点拟合某个函数的Kriging 模型和QF 模型。为提高算法的应用范围，搜索精度和效率以及稳健性，本文提出一种多重元模型搜索方法（MSM），此方法采用两组初始样本点，拟合三组元模型进行搜索，其主要流程如图 3 所示。

图 1 不同的点拟合Kriging 模型


图 2 相同的点拟合Kriging 和RBF 模型


图 3 优化流程

1.1 优化流程1.1.1 生成初始点并计算
使用LHD 生成两组初始样本点

和

并使用原始模型进行计算，得到

这些点将使用原始模型计算函数值，所以也称为昂贵点。

1.1.2 构建重点空间
在此算法中，重点空间由一部分函数值最小的昂贵点构成，构成重点空间的昂贵点的数目，ne，由以下公式定义：

式中：me 为当前所有昂贵点的数目；i 为迭代进行的次数。表 1 给出了优化某个2 维问题时构造重点空间的昂贵点的数目。

表 1 构建重点空间的昂贵点的数目

由表1 可知，构建重点空间的昂贵点的数目从16 个增加到38 个，从第11 次迭代起固定为10 个。其数目逐渐增大然后减小，在一定程度上能够使重点空间在前几步搜索中不至于因缩小过快而导致全局最优在重点空间之外，而且能够使重点空间在第7次以后的搜索中快速缩小至全局最优附近。图4 是在搜索某个2 维问题时所得到的重点空间。由图4 可知，重点空间在前7 次搜索中逐渐缩小，之后快速缩小至全局最优附近。

图 4 搜索某2 维问题的重点空间

1.1.3 拟合元模型
本文提出的方法采用两组初始点，能够拟合出3 组元模型，即第1 组初始点拟合的Kriging 模型

第2 组初始点拟合的Kriging 模型

和所有点拟合的Kriging 模型

第1 组样本点拟合的二阶多项式

第2 组初始点拟合的二阶多项式

和所有点拟合的二阶多项式^h。
（1）二阶多项式
二阶多项式是BOX 和WILSON 最早在1951年分析试验的时候开发出来的[8]，其主要形式如下：



式中：系数β 由最小二乘法计算得到。


（2）Kriging 模型
Kriging 模型是由KRIGE 在1951 年开发出来的，其主要形式如下：



式中：f(x)是一个已知函数，在此MSM 算法中采用常数；z(x)是一个平均值为0 而协方差cov[z（xi）, z（xj）]不为0 的随机过程，所以Kriging可以表示为：



式中：σ2为这个随机过程的方差；R 为相关系数矩阵。

1.1.4 应用LHD 生成廉价点
此步骤中产生的样本点将使用上一步中拟合的元模型计算函数值，所以称为廉价点。此步骤中将在重点空间和整个设计空间分别应用LHD 生成N个廉价点，N 推荐为104，也可以根据需要定义。在重点空间生成的廉价点为：

在整个 设计空间生成的廉价点为：


1.1.5 应用元模型估计廉价点的值
根据泰勒公式，QF 可以在局部准确拟合任何平滑函数[18]，而Kriging 在整个设计空间具有较高精度[15]。所以，在本文提出的MSM 方法中应用QF在重点空间搜索，而Kriging 搜索整个设计空间来避免全局最优不在重点空间而导致丢失全局最优。这一步中将得到6 组函数值，即使用第1 组点生成的Kriging 模型计算得到的

使用第2 组点生成的Kriging 模型计算得到的


使用所有点生成的Kriging 模型计算得到的

以及使用第1组点生成的二阶多项式模型计算得到的


使用第2 组点生成的二阶多项式型计算得到的

和使用所有点生成的二阶多项式模型计算得到的



1.1.6 选取新的昂贵点
根据每一组函数值，分别选取3 个函数值最小的点。即

以及

由于前3 组点都是从

中选出，后3组点都是从

中选出。所以，

可能存在部分相同点

和

也可能存在部分相同点。所以这一步最多选取18 个点，最少选取6 个点。

1.1.7 检查终止条件
新提出的MSM 算法采用5 个最小的函数值（真实值）的平均值作为收敛条件，减公式（2）。如果其改进可以忽略，则算法终止。否则重复步骤2至步骤6，直至满足终止条件。


式中： ε为用户定义的一个较小的数值；fj 为第j 个最小的函数值。由于从第11 次搜索起，构建重点空间的样本点个数不再变化，所以MSM 方法从第11 次搜索起开始检查终止条件。

2 算法验证




2.1 数学函数文中将使用4 个广泛使用的标准函数算例对新提出的MSM 方法进行验证，这4 个函数是10变量的函数、16 变量的F16 函数、20 变量的Sum Squares 函数（SSF）和24 变量的Powell 函数。
（1）Goldstein and Price 函数（GP）[25]



（2）Paviani 函数（PF），N=10 [27]


（3）Dixon-Price 函数（DP），N=10（4）F16 函数，N=16



（5）Sum Squares 函数（SS），N=2（6）Powell 函数（PF），N=24

这6 个函数的变量个数从2 到24，除Sum Squares 函数为二阶多项式外，其它都是高度非线性函数。在测试中，每个函数连续运行100 次，其得到的最小值的平均值，min，所用迭代次数的平均值，nit，和所用昂贵点个数的平均值，nfe，作为参数表示算法的性能。其中，min和nit 保留一位小数，nfe 只保留整数部分。而且，应用著名的EGO 所得到的结果也将给出并与MSM 进行比较。

由表2 可知，EGO 在优化F16 函数时精度高于MSM，而MSM 在优化Dixon-Price 和Sum Squares函数时精度更高。在优化其它函数时，二者精度接近。在搜索效率方面，这两个方法每一次搜索得到的新的昂贵点可以同时计算，所以迭代次数可以作为代表算法搜索效率的主要参数。对于这4 个函数，MSM 最多搜索19.8 次就能得到较高精度的结果，仅使用了EGO 20%的计算时间，搜索效率远远高于EGO。因此，MSM 具有较高的搜索精度和搜索效率，可以选择作为优化工具来解决实际工程问题。

表 2 数学函数优化结果

2.2 汽车轻量化设计

某款副车架质量为73.6 kg，为降低成本，需要对其进行轻量化设计。根据公式标准，其刚度，即在放置200 kg 货物时所产生的最大位移不能超过2.0 mm，优化模型见式（13）。

式中：mass 是优化目标，表示整个结构的质量， kg；dis 是施加的力所产生的最大位移， mm；t1-18是18 个较大零件的厚度，作为优化变量，mm，根据经验其搜索区间定义为0.6 ～2.5 mm。图5 是此副车架的有限元模型。此模型将调用商业软件MSC Nastran 进行计算，优化结果见表3。

经过14 次搜索，调用有限元模型计算133 次，MSM 方法得到最优解，结构的质量从73.6 kg，减少到65.6 kg，减少了8.0 kg，施加力所产生的位移为1.98 mm，满足设计要求，如图 6 所示。

图 5 副车架分析有限元模型

表 3 轻量化结果


图 6 施加力产生的位移

3 结论

本文提出一种多重元模型搜索方法，此方法首先选取两组初始点，拟合三组元模型进行搜索。经过4 个数学函数算例验证，此方法具有很高的搜索效率和搜索精度。将其应用于实际工程中的轻量化设计，经过14 次搜索得到最优值，系统的质量减少8.0 kg，证明了它在实际工程中的应用潜力。此外， 该MSM方法除终止条件可以根据需要进行调整外，无需修改其它参数，使用简单方便。

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